YLIOPPILASTUTKINTOLAUTAKUNTA      27.09.2002
MATEMATIIKAN KOE LYHYT OPPIMÄÄRÄ

Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään. Eräät tehtävät sisältävät useita osia [merkittynä a), b) jne.], jolloin kaikkien kohtien käsittely kuuluu tehtävän täydelliseen suoritukseen.


  1. Aviopuolisot Taisto ja Irmeli osallistuivat 615 euron suuruisen laskun maksamiseen kuukausipalkkojensa suhteessa. Taiston palkka oli 1801 € ja Irmelin 1354 €. Mitkä olivat heidän osuutensa laskusta?
  2. Laske paraabelien y = 5x² - x ja y = 1 - x² leikkauspisteet.
  3. Liikenneministeriön teettämässä tutkimuksessa kotitalouksien autoistumista selitettiin mallilla y = 0,21a + 0,36b + 0,20c + 0,34d - 0,26, jossa y ilmoittaa, millä todennäköisyydellä tietyntyyppisellä kotitaloudella on auto käytettävissään. Selittävinä muuttujina mallissa ovat a = perhetyyppi, b = tulot, c = perheen päämiehen ikä ja d = asuinkunnan kaupunkimaisuus. Keskituloisella kahden huoltajan lapsiperheellä, jonka päämiehen ikä on 30 vuotta, on a = 0,93, b = 0,79 ja c = 1,35. Millä todennäköisyydellä kuvatunlaisella kotitaloudella on käytettävissään auto, jos perheen asuinkunta on a) kaupunkimainen, jolloin d = 0,78, b) maaseutumainen, jolloin d = 1,01?
  4. Urheilukentän juoksuradan sisäpuolinen kenttä koostuu suorakulmiosta ja sen päissä olevista puoliympyröistä, joiden säde on 36,00 m. Kuinka pitkät ovat juoksuradan suorat osat, kun juoksuradan koko pituus on tasan 400 metriä radan sisäreunaa pitkin mitattuna? Juoksuradalla on yhteensä kahdeksan 122 cm:n levyistä rinnakkaisrataa. Kuinka monta metriä uloin, kahdeksas rata on sisärataa pidempi ratojen sisäreunoja pitkin mitattuna? Anna vastaus 0,01 metrin tarkkuudella. Kuinka monta prosenttia tämä ero on?
  5. Jalallisen viinilasin sisätila on kärjellään seisova suora ympyräkartio, jonka tilavuus on 1,75 dl. Kuinka paljon lasissa on nestettä nestepinnan lasissa ulottuessa puoleenväliin lasin sisätilan korkeudesta?
  6. Katsoja näkee pilvien välisen salaman välähdyksen 25 asteen kulmassa horisontin yläpuolella ja kuulee jyrähdyksen 35 sekunnin kuluttua salamaniskusta. Kuinka korkealla salamanisku tapahtui? Kuinka etäällä katsojasta oli paikka, jonka yläpuolella salama iski? Äänen nopeus on 340 m/s. Maan pinta oletetaan tasoksi.
  7. Ohessa on valtion tuloveroasteikko verovuodelta 2000. a) Kuinka paljon alarajan valtion tuloveroa vuonna 2000 maksoi henkilö, jonka verotettava vuositulo oli 162 520 mk? b) Kuinka suuri olisi henkilön verotettava vuositulo ollut, jos hänelle valtion tuloveron pidätyksen jälkeen olisi jäänyt 162 520 mk?

  8. Videokameran hinta on laskenut vuosittain 12 %, ja vuonna 2000 kamera maksoi 4 200 mk. Mikä oli sen hinta kolme vuotta aiemmin vuonna 1997? Jos hintakehitys jatkuu samanlaisena, kuinka paljon kamera maksaa vuonna 2004, jolloin rahayksikkönä on euro (1 € = 5,94573 mk)?
  9. Lentokone lähtee aikataulun mukaan paikasta A klo 14.10 ja saapuu paikkaan B klo 17.00. Paluumatkalle lentokone lähtee B:stä klo 18.55, ja se on perillä A:ssa seuraavana päivänä klo 8.45. Paluumatka kestää tunnin enemmän kuin menomatka. Paljonko kello on paikassa B lentokoneen saapuessa A:han? Kaikki ilmoitetut ajat ovat paikallisia aikoja.
  10. Tehdas ilmoitti valmistamiensa auton sytytystulppien kestävyyden ajokilometreinä noudattavan normaalijakaumaa N(25000 km, 2000 km). Kuinka monen kilometrin jälkeen tällaisen tulpan toimintavarmuus laskee alle 95 prosentin?
  11. Tee selkoa, mitä polynomifunktion derivaatta kertoo funktion kulusta. Osoita, että funktio f(x) = 5x³ + x² + 3x - 12 on kaikkialla kasvava.
  12. Auton jäähdytin, jonka tilavuus on 10 litraa, vuotaa litran vuorokaudessa. Jäähdytintä ei ole ehditty korjata, vaan siihen on lisätty joka aamu litra vettä. Maanantaiaamuna jäähdytin oli täynnä liuosta, jonka pakkasnestepitoisuus oli 40 tilavuusprosenttia. Viikon päästä maanantaiaamuna jäähdyttimeen lisättiin jälleen vettä, ennen kuin auto viimein vietiin korjaamoon. Mikä oli tuolloin jäähdyttimen pakkasnestepitoisuus? Mikä olisi pakkasnestepitoisuus ollut, jos auto olisi viety korjaamoon viikon sijasta neljän viikon kuluttua?
  13. a) Määritä funktion f(x) = 2x³ - 3x² suurin ja pienin arvo välillä [0, 2]. b) Määritä vakio a siten, että funktion g(x) 2x³ - 3x² + a pienin arvo välillä [0, 2] on -4. Mikä on tällöin funktion suurin arvo ko. välillä?
  14. Henkilö aloitti säästövakuutuksen vuoden 2000 alussa. Laaditun sijoitussuunnitelman mukaisesti hän sijoittaa joka kuukauden alussa 60 € kahdeksan vuoden ajan. Jokaisen sijoituksen yhteydessä peritään vakuutusmaksupalkkiota 2 % sijoitettavasta summasta sekä hoitokuluina 1,35 €. Säästövakuutuksen odotetaan tuottavan samoin kuin vastaava talletus, jonka vuotuinen korko on 4,4 %. Arvioi tuotto-odotuksen mukaisen säästösumman suuruus vakuutuskauden päättyessä. Mikä on vakuutuksen puhdas tuotto, kun tuotosta peritään 29 % pääomatuloveroa?
  15. Henkilöt A, B ja C asuvat viisikerroksisen asuinrakennuksen ylimmässä kerroksessa. Kotoa lähtiessään A ajaa hissillä alas ensimmäiseen kerrokseen, jos hissi on kohdalla; muussa tapauksessa hän kävelee alas. Henkilö B ajaa aina hissillä ja C kävelee aina. Hissin ovissa kulkemiseen kuluu kaikkiaan arviolta 4 sekuntia ja kerrosvälin ajamiseen 5 sekuntia. Henkilöt A ja C kulkevat kerrosvälin kävellen 8 sekunnissa. Todennäköisyys, että hissi on talon ensimmäisessä kerroksessa, on kaksinkertainen verrattuna minkä tahansa muun kerroksen todennäköisyyteen. Kenen henkilöistä A, B ja C voidaan odottaa kulkevan nopeimmin kotoa alas ensimmäiseen kerrokseen?


© Ylioppilastutkintolautakunta / Internetix