Matematiikka, yleinen oppimäärä - kevät 1994


YLIOPPILASTUTKINTO 30. 3. 1994 MATEMATIIKKA, YLEINEN OPPIMÄÄRÄ

Tehtävissä 2, 3, 4, 6 ja 10 on kussakin kolme vaihtoehtoa, joista saa suorittaa vain yhden. Vaihtoehto c) on tarkoitettu lähinnä kokeilukursseja opiskelleille, mutta sen saa valita kuka tahansa.

1. Kun matkalipun hintaa korotettiin 5,0 %, matkustajien määrä väheni 5,0 %. Kuinka monella prosentilla tällöin lisääntyivät tai vähentyivät liikennöitsijän lipputulot?

2. a) Määritä se funktion f(x) = 6x2 - 4x + 2 integraalifunktio, jonka kuvaaja kulkee pisteen (-1,2) kautta.

b) Palkansaajan ennakonpidätysprosentti oli 42. Kuinka paljon häneltä oli pidätetty veroennakkoa, kun hän sai pidätyksen jälkeen 5084,00 mk?

c) Kolmesta vahakuutiosta, joiden särmät ovat 3 cm, 4 cm ja 5 cm, leivotaan yksi ainoa kuutio. Laske tämän särmän pituus. Kuinka monta prosenttia tässä toimituksessa kokonaispinta-ala muuttuu?

3. a) Määritä suorien x - 2y + 4 = 0 ja 4x + 7y - 12 = 0 leikkauspisteen etäisyys origosta.

b) Juhlasalissa on kaksi ovea. Jos vain ovea A käytetään, tyhjenee sali 18 minuutissa, ja jos ovi B on käytössä, tarvitaan 12 minuuttia. Missä ajassa sali tyhjenee, jos molemmat ovet ovat käytössä?

c) Vuonna 1981 oli maamme korkeakouluissa jokaista opettajaa kohti keskimäärin 13 opiskelijaa. Vuoteen 1991 mennessä oli opiskelijoiden määrä kasvanut 37,3 % ja opettajien määrä 20,6 %. Kuinka monta opiskelijaa oli vuonna 1991 jokaista opettajaa kohti?

4. a) Herra Hoppulainen oli autollaan matkalla kokoukseen. Kun hän oli vielä 30 km päässä kokouspaikasta, hän laski myöhästyvänsä kokouksen alusta 15 minuuttia, mikäli hän jatkaa korkeimmalla sallitulla nopeudella 80 km/h. Kuinka paljon hän myöhästyisi, jos hän joutuisi ajamaan vain nopeudella 70 km/h, ja kuinka suurella nopeudella hänen pitäisi ajaa, jos hän aikoisi olla ajoissa perillä?

b) Ratkaise yhtälö log(x - 4) + log(x + 5) = log2 + log5 ja tarkista vastaus.

c) Luvuista 100, 101, ... , 999 valitaan umpimähkään yksi. Kuinka suurella todennäköisyydellä se on palindromi eli sellainen luku kuten 121, joka etu- ja takaperin luettuna on sama?

5. Puun runkoa pidetään suorana ympyräkartiona. Puun korkeus on 14 m ja tyven läpimitta 24 cm. Vuodessa puu kasvaa pituutta 30 cm, ja sen tyven läpimitta suurenee 4 mm. Kuinka monta dm3 puun tilavuus tällöin kasvaa viidessä vuodessa?

6. a) Origosta alkavan vektorin = 12 + 15 kärjestä A lähtien piirretään sellainen 13 yksikön pituinen vektori , että kulma AOB on mahdollisimman suuri. Kuinka suuri on tällöin B:n etäisyys origosta?

b) Funktio f määritellään seuraavasti: f(x) = x3 - x + 1, kun x 1, ja f(x) = 2x + 1, kun x > 1. Tutki, onko funktio f jatkuva ja onko se derivoituva.

c) Kuulantyöntäjän kilpailutulokset ovat noudattaneet normaalijakaumaa. Keskiarvo on 18,70 m ja hajonta 0,30 m. Maailmanmestaruuskilpailussa hän työntää kuulaa 19,52 m. Poikkeaako tulos erittäin merkittävästi aiemmista tuloksista (eli onko se 99,9 % luottamusvälin ulkopuolella)?

7. Oheisena on väliä -6 x 6 vastaava osa erään funktion kuvaajasta y = f(x). Määritä kuvion perusteella funktion nollakohdat; niistä pienin olkoon x1. Määritä edelleen derivaatan arvo f'(x1). Vastaukset yhden desimaalin tarkkuudella.
Voit näpätä isomman kuvan!

8. Väritelevisiolupamaksu on 846 mk vuodessa, jos se maksetaan yhdessä erässä. Kahdessa erässä maksettaessa maksuerät on 426 mk ja neljässä erässä maksettaessa 216 mk. Maksettaessa useammassa erässä joutuu siten maksamaan hieman enemmän, mutta vastaavasti vielä maksamattoman osuuden 846 markasta voisi pitää kasvamassa korkoa. Minkä korkoprosenttien mukaan laskettuna korot kattaisivat suuremmat maksut?

9. Tuhohyönteidten määrä viljelmällä kasvoi viikossa p %. Joka toinen viikko levitettiin torjunta-ainetta, joka vähensi tuhohyönteisten määrää q %. Kun oli kulunut kahdeksan viikkoa, oli hyönteisten määrä sama kuin aluksi. Lausu q p:n avulla ja laske q, kun p = 60.

10. a) Epäyhtälöiden x/2 + 1 < y < (3 - x)(x + 2) määrittelemän alueen jakaa y-akseli kahteen osaan. Määritä näistä pienemmän alan suhde isomman alaan.

b) Määritä funktion saamista arvoista suurin ja pienin, kun -3 x 3.

c) Tilastokeskuksen työvoimatutkimuksen mukaan palkansaajia ja yrittäjiä oli vuosina 1960 - 1991 tuhansina henkilöinä seuraavat määrät.

     Vuosi        Palkansaaja     Yrittäjiä

     1960         1340            757
     1970         1626            500
     1980         1930            379
     1985         2077            360
     1990         2108            359
     1991         2000            339

Havainnollista tilastotiedot diagrammina samassa kuviossa. Sovita kuvioon havaintopisteisiin mahdollisimman hyvin sopivat (regressio)suorat ja esitä tämän aineiston pohjalta ennuste, kuinka paljon palkansaajia ja yrittäjiä Suomessa on vuonna 1994.

©Ylioppilastutkintolautakunta/ Internetix