Matematiikka, yleinen oppimäärä - kevät 1993


YLIOPPILASTUTKINTO 2. 4. 1993 MATEMATIIKKA, YLEINEN OPPIMÄÄRÄ

Tehtävissä 2, 3, 4, 5 ja 7 on kussakin kolme vaihtoehtoa, joista saa suorittaa vain yhden. Vaihtoehto c) on tarkoitettu lähinnä kokeilukursseja opiskelleille, mutta sen saa valita kuka tahansa.

1. Tilausmatkan kustannukset ajateltiin jaettavaksi tasan 22 osanottajalle, mutta kun lähtijöitä olikin 24, tuli kullekin matka 10 mk halvemmaksi. Kuinka paljon kukin osanottaja joutui lopulta maksamaan?

2. a) Esitä funktio f: f(x) = polynomina ja derivoi tämä polynomi.

b) Kauppias oli maksanut tuotteesta 220 mk. Kuinka suureksi hänen olisi asetettava myyntihinta voidakseen myöntää käteisalennusta 15 % ja saada silti voittoa 15 % maksamastaan hinnasta?

c) Aurinko nousi Jyväskylässä 2.4. klo 6.36 (kesäaikaa) ja nousee viikkoa myöhemmin klo 6.13. Mihin aikaan aurinko nousee Jyväskylässä 14.4., kun lyhyellä aikavälillä auringon nousuaika on päivämäärän lineaarinen funktio (kuvaajana suora)?

3. a) Ratkaise yhtälöpari

.

b) Huhtikuun 2. päivä 1993 on perjantai. Mikä viikonpäivä on 1001:n yön kuluttua?

c) Kuinka monen vuoden päästä hinnat olisivat 1,5-kertaisia, jos ne nousisivat joka vuosi 7 %?

4. a) Ratkaise yhtälö 2x(x + 3) - 3(2x - 1) = 9 - 4x.

b) Suomessa syntyvistä lapsista 51,3 % on poikia. Kuinka suurella todennäköisyydellä seitsenlapsisen Jukolan perheen kaikki lapset ovat poikia?

Näppää isompi kuva
c) Kuinka monta 50 Saksan markan seteliä matkalle lähtevä henkilö saattoi enintään ostaa pankista, kun pankin välityspalkkio oli 25 mk, kurssi oli oheisen taulokon mukainen ja hänen käytettävissään oli 4 000 mk?

5. a) Kun suorakulmaisessa kolmiossa piirretään suoran kulman kärjestä lähtevä korkeusjana, jakaantuu kolmio kahteen osaan, joiden alojen suhde on 1 : 2. Laske kolmion pienimmän kulman suuruus 0,1°:n tarkkuudella.

b) Muuntajassa on 110 metriä poikkileikkaukseltaan pyöreää halkaisijaltaan 2,0 mm olevaa kuparijohtoa. Kuinka paljon tämä johto painaa? Yksi kuutiosenttimetri kuparia painaa 8,92 g.

Fibonaccin lukujono alkaa kahdella ykkösellä, minkä jälkeen seuraava luku saadaan aina kahdesta edellisestä laskemalla ne yhteen: a1 = 1, a2 = 1, a3 = 2, a4 = 3, a5 = 5, ..., a24 = 46368, a25 = 75025,... . Mikä on a23? Kuinka paljon suhde a24 : a23 poikkeaa irrationaaliluvusta (1 + )/2?

Voit näpätä myös suuremman kuvan!
6. Oheisessa kuvassa on erään polynomifunktion f kuvaaja. Selvitä kuvan perusteella, kuinka suuri on f '(0). Missä muissa pisteissä derivaatalla on sama arvo kuin origossa?

7. a) Laske sen alueen pinta-ala, jonka määräävät epäyhtälöt y > x - 3 ja y < -x + 8x - 9.

b) Huoneisto, jonka pinta-ala oli 96 m2, oli esitteessä kooltaan 40 mm x 60 mm. Mikä oli esitteen mittakaava ja mikä keittiön ala?

c) Yksinkertainen "ruokakori" koostuu viidestä tuotteesta, joiden osuudet on lueteltu seuraavassa taulokossa. Eräiden tuotteiden hinnat nousevat, eräiden laskevat taulukon mukaisesti.

               Osuus     Hinnan
     Tuote     korissa   muutos

       A        35 %     + 2,0 %     
       B        25 %     - 1,0 %
       C        20 %     + 4,4 %
       D        14 %     - 5,8 %
       E         6 %     + 6,2 %  

Laske ruokakorin hinnanmuutos.

8. Tähtitieteessä etäisyydet ilmoitetaan usein yksikkönä parsek, joka on se etäisyys, josta Maan kiertoradan säde näkyisi yhden kulmasekunnin suuruisessa kulmassa. Kuinka monta kilometriä on parsek, kun Maan radan säde on 150 000 000 km?

9. Rautalangasta, jonka oituus on 50 cm, taivutetaan kuvan mukainen kehikko suorakulmaista särmiötä varten. Langan päistä varataan kummastakin 1 cm pientä silmukkaa varten. Särmiön pohja on neliön muotoinen. Miten tämän neliön sivu ja miten kehikon korkeus on valittava, kun särmiön tilavuus halutaan mahdollisimman suureksi?

10. Koulussa on 300 lamppua, joiden kestoikä noudattaa normaalijakaumaa keskiarvon ollessa 1200 h ja keskihajonnan 200 h. Lamput palavat 55 h viikossa. Kaikki lamput vaihdetaan kerralla. Kuinka usei tämä on tehtävä, jotta vain 50 lamppua ehtii sammua?

©Ylioppilastutkintolautakunta/ Internetix