Matematiikka, yleinen oppimäärä - kevät 2001


YLIOPPILASTUTKINTO         16. 3. 2001                MATEMATIIKAN KOE - LYHYT OPPIMÄÄRÄ

Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään. Eräät tehtävät sisältävät useita osia [merkittynä a), b) jne.], jolloin kaikkien kohtien käsittely kuuluu tehtävän täydelliseen suoritukseen.

1. Maantiekartassa on joitakin teiden risteyksiä merkitty ympyrällä, jonka halkaisija on 1,8 mm. Mitä risteysalueen halkaisijaa tämä vastaa todellisuudessa, kun kartan mittakaavä on 1:200 000? Jos risteysalueen halkaisija todellisuudessa on 25 m, niin kuinka suuri sen tulisi kyseisellä kartalla olla?

2. Ratkaise yhtälö

3. Täysinäisessä tiiviisti pakatussa ympyrälieriön muotoisessa säilytyskotelossa on neljä tennispalloa. Kuinka suuri osa pallojen tilavuus on kotelon tilavuudesta?

4. Metsäntutkimuslaitos mittaa eräissä koepuumetsiköissään puiden paksuuskasvua ns. kasvupannalla, joka tunnin välein rekisteröi puun ympärysmitan rinnan korkeudelta millimetrin sadasosan tarkkuudella. Erään koekuusen tasan vuoden välein otetut mittaukset osoittavat seuraavan: Vuonna 1997 kuusen ympärysmitta oli 102,20 cm. Vuoden 1998 mittaus osoitti ympärysmitan kasvaneen edellisestä vuodesta 13,16 mm, vuoden 1999 mittaus vastaavasti 6,85 mm ja vuoden 2000 mittaus 7,06 mm aina edelliseen vuoteen verrattuna. a) Kuinka paljon kyseisen kuusen halkaisija oli kaikkiaan kasvanut kolmivuotiskaudella? Vastaus 0,1 mm:n tarkkuudella. b) Kuinka monta prosenttia poikkileikkauksen pinta-ala oli kaikkiaan kasvanut? Poikkileikkaus oletetaan ympyrän muotoiseksi. Vastaus prosentin kymmenesosan tarkkuudella.

5. Yrityksen liikevaihto oli vuoden toisella neljänneksellä 11 % pienempi kuin vuoden ensimmäisellä neljänneksellä. Kokonaisuudessaan yrityksen liikevaihto kyseisen puolen vuoden osalta oli 6,0 miljoonaa euroa. Kuinka suuri yrityksen liikevaihto oli vuoden ensimmäisellä neljänneksellä?

6. Pisteiden (-2, 11) ja (7, -1) kautta kulkeva suora muodostaa koordinaattiakselien kanssa kolmion. a) Muodosta suoran yhtälö. b) Määritä syntyneen kolmion sivujen pituudet.

7. Suorakulmaisen kolmion ABC kateetin AC pituus on 8,6 cm ja kateetin BC pituus 5,8 cm. Kateetilla AC on piste D siten, että DA = DB. Määritä janojen AB ja CD pituudet.

8. Pieneläinklinikassa käytetään kerta-annoksena annettavaa nukutusainetta, jonka määrä elimistössä vähenee eksponentiaalisesti siten, että kolmen tunnin kuluttua aineesta on enää puolet jäljellä. Leikkauksen ajan on nukutusainetta elimistössä oltava vähintään 23 mg eläimen kutakin painokiloa kohti. Kuinka suuri määrä nukutusainetta on vähintään annettava 20 kg painavalle koiralle leikkausta varten, kun leikkauksen on arvioitu kestävän 1 h 15 min?

9. Kooltaan pieneneviä kuutioita pinotaan päällekkäin. Ensimmäisen kuution särmä on tasan yksi metri, ja muiden kuutioiden särmät ovat pituudeltaan aina puolet alla olevan kuution särmästä. a) Määritä kolmen alimman kuution ja n:nnen kuution särmän pituus. b) Kuinka korkea on pino, jossa on 10 ensimmäistä kuutiota? Laske taulukkoon pinon korkeuden arvot, kun kuutioita on 11, 12, 13 ja 14. Jos ajatellaan kuutioiden lukumäärän kasvavan rajatta, niin mitä lukua pinon korkeus näyttää lähestyvän?

10. Sanan YLIOPPILAS kymmenestä kirjaimesta otetaan umpimähkään kolme. Millä todennäköisyydellä a) ensiksi otettu kirjain on vokaali, b) otetuista kirjaimista vain yksi on vokaali, c) otetuista kolmesta kirjaimesta voidaan muodostaa sana ILO?

11. Kehäkulmalla tarkoitetaan kulmaa, jonka kärki on ympyrän kehällä ja kyljet ovat ympyrän jänteitä. Olkoot A ja B ympyrän halkaisijan päätepisteitä sekä C kolmas ympyrän kehäpiste. Olkoon O ympyrän keskipiste. Osoita, että kehäkulman ABC suuruus on puolet keskuskulman AOC suuruudesta.

12. Tyhjennettävässä vesisäiliössä olevan veden tilavuus litroina on V(t) = 520(20 - t)², jossa t on aika minuutteina. Säiliö tyhjenee nopeudella q(t) = -(t) (litraa/min). a) Säiliön tyhjentäminen alkaa hetkellä t = 0. Milloin säiliö on tyhjä? Piirrä funktion V kuvaaja. b) Määritä funktio q ja piirrä sen kuvaaja. Milloin tyhjenemisnopeus on suurimmillaan?

13. Ranskalaisen matemaatikon Adrien Legendren mukaan nimetyt polynomit Pn(x) määritellään rekursiivisesti seuraavalla tavalla:

Määritä arvoja n = 2 ja n = 3 vastaavat polynomit P2(x) ja P3(x) sekä näiden derivaatat (x) ja (x). Osoita, että on voimassa yhtälö (x) - x(x) = 3P2(x).

14. Insinööri Virtanen oli tallettanut asunnon myynnistä saamansa 500 000 markan kauppasumman vuoden 1999 alussa tilille, jolle pankki maksoi 2,00 prosentin verotonta vuotuista korkoa. Talletuskorkojen verotus muuttui 1.6.2000 siten, että tästä päivästä alkaen kertyvät korot ovat kaikki veronalaisia. Koroista menee 29 prosentin lähdevero, jonka pankki perii talletuksen noston yhteydessä täysiksi markoiksi pyöristettynä. Verotuskäytännön muut tuessa pankki lisäsi Virtasen tilille vuoden alusta siihen mennessä kertyneet korot. Kuinka paljon rahaa Virtanen sai nostaessaan tilillä olevat varat 25.8.2000? Pankki laski talletukselle koron todellisten päivien mukaan tallettamispäivästä nostopäivään nostopäivää lukuun ottamatta. Karkausvuoteen 2000 pankki laski kuuluvaksi 366 korkopäivää.

15. Taulukossa on Sydneyn olympialaisten kymmenottelun kymmenen parhaan urheilijan pistetulos 100 metrin juoksussa ja kuulantyönnössä sekä ottelun lopulliset kokonaispistemäärät. Tutki, miten 100 metrin juoksun ja kuulantyönnön yhteistuloksen perusteella voidaan ennustaa lopullista menestymistä kymmenottelussa. Laske tätä tarkoitusta varten 100 metrin juoksun sekä kuulantyönnön pistesumman ja ottelun kokonaispistemäärän korrelaatiokerroin sekä piirrä jakaumasta korrelaatiodiagrammi. Sovita kuvioon regressiosuora.

 
100 m juoksu
Kuulantyöntö
Kokonaispistemäärä
1. Erki Nool EST
2. Roman Sebrle CZE
3. Chris Huffins USA
4. Dean Macey GBR
5. Tom Pappas USA
6. Tomas Dvorak CZE
7. Frank Busemann GER
8. Attila Zsivoczky HUN
9. Stefan Schmid GER
10. Henrik Dagård SWE
933
878
980
903
901
881
881
838
874
897
796
803
806
766
782
846
760
787
731
788
8641
8606
8595
8567
8425
8385
8351
8277
8206
8178

Eduard Hämäläisen tulos 100 metrin juoksussa oli 858 pistettä ja kuulantyönnössä 732 pistettä. Jos edellä saatua regressioanalyysin tulosta käytetään ennusteena, niin mikä olisi ollut Hämäläisen odotettavissa oleva lopullinen kokonaispistemäärä?

©Ylioppilastutkintolautakunta/ Internetix