ŠInternetix


Harjoitukset ovat summittaisessa järjestyksessä ja niiden vastaukset löytyvät linkin takaa omasta tiedostostaan. Joidenkin tehtävien yhteydessä on myös vihjeitä tehtävän ratkaisuihin.

Tilastot ja todennäköisyys- kurssin lisäharjoitukset

Harjoitusmateriaali pohjautuu Simo Kivelän M niin kuin matematiikkaan



Todennäköisyyteen liittyviä lisäharjoituksia

Huom! Tehtäviin löytyvät vain vastaukset. Ratkaisut on tehtävä itse ja ne kuuluvat osana kurssin suorittamista!

Tehtävä 1.

Mikon heittäessä tikkaa sata kertaa. Sadan tikanheiton tulokset olivat seuraavat

Mikä on todennäköisyys, että Mikon heittäessä tikkaa, hän saa tulokseksi

a) 9 tai 10
b) vähintään 8
c) korkeintaan 5
d) korkeintaan 9 ja vähintään 6 ?

Tehtävä 2.

Maljassa on 15 lasipalloa : 3 valkoista, 5 keltaista ja 7 sinistä. Mikä on todennäköisyys, että satunnaisesti nostettu pallo on

a) valkoinen
b) valkoinen tai sininen
c) ei ole keltainen
d) valkoinen, keltainen tai sininen
e) musta ?

Tehtävä 3.

Mikä on todennäköisyys, että vedettäessä yksi kortti korttipakasta satunnaisesti saadaan

a) hertta
b) herttaässä tai ruutu
c) ässä tai hertta ?

Tehtävä 4.

Korttipakasta nostetaan kortti, joka osoittautuu kuvakortiksi. Kuvakortteja ovat J, Q ja K. Millä on todennäköisyys nostettu kortti on

a) hertta
b) kuningatar ?

Tehtävä 5.

Säilytysarkussa on 18 laatikkoa ruuveja, 10 laatikkoa nauloja ja 27 laatikkoa muttereita. Mikä on todennäköisyys, että satunnaisesti valitussa laatikossa on

a) nauloja
b) ruuveja tai muttereita
c) ei ole muttereita ?

Tehtävä 6.

Maljassa on 10 palloa, joista 6 on keltaista ja 4 vihreää. Maljasta nostetaan satunnaisesti ja peräkkäin kaksi palloa (palauttamatta niitä takaisin). Mikä on todennäköisyys, että

a) molemmat ovat vihreitä
b) pallot ovat eri värisiä ?

Tehtävä 7.

Eräässä tietokoneen kiintolevyssä esiintyy vain kahdenlaisia vikoja A ja B. Vikojen esiintymistodennäköisyydet ovat P(A) = 0,02 ja P(B) = 0,05. Viat esiintyvät toisistaan riippumatta. Valitaan satunnaisesti yksi kiintolevy. Mikä on todennäköisyys, että valitussa kiintolevyssä on

a) molemmat viat
b) ainakin toinen vioista
c) ei kumpaakaan vikaa ?

Tehtävä 8.

Oletetaan, että 30 prosentilla suomalaisista on siniset silmät. Mikä on todennäköisyys, että neljästä satunnaisesti vastaantulevalla suomalaisella kolmella ensimmäisellä on siniset silmät ja viimeisellä ei ole ?

Tehtävä 9.

a) Lukion matematiikan kurssin opiskelijoista 15% hylättiin ensimmäisessä kokeessa ja 20% toisessa kokeessa. Kukaan opiskelija ei saanut hylättyä arvosanaa molemmista kokeista. Mikä on todennäköisyys, että opiskelija hylättiin ainakin toisessa kokeessa ?

b) Lukion matematiikan kurssin opiskelijoista 15% hylättiin ensimmäisessä kokeessa ja 20% toisessa kokeessa. Molemmista kokeista hylättyjä oli 5%. Mikä on todennäköisyys, että opiskelija hylättiin ainakin toisessa kokeessa ?

Tehtävä 10.

Elias heittää noppaa viisi kertaa. Mikä on todennäköisyys, että

a) Elias ei saa kertaakaan nelosta suurempaa silmälukua
b) Ainakin kerran Eliaksen saama silmäluku on suurempi kuin neljä ?

Tehtävä 11.

a) Tietokoneita valmistetaan kolmessa eri tuotantolaitoksessa. Valmistetuista tietokoneista A valmistaa 60%, B valmistaa 30% ja c loput. A:n valmistamista tietokoneista 2%, B:n valmistamista tietokoneista 3% ja C:n valmistamista tietokoneista 5% on viallisia. Millä todennäköisyydellä satunnaisesti valittu tietokone on viallinen ?

b) Entä jos A:n valmistamista tietokoneista 5%, B:n valmistamista tietokoneista 3% ja C:n valmistamista tietokoneista 2% on viallisia. Millä todennäköisyydellä satunnaisesti valittu tietokone on viallinen ?

Tehtävä 12.

Johanneksen koulumatkalla on kolmet jalankulkuvalot. Ne näyttävät punaista 70%, 55% ja 40% ajasta. Mikä on todennäköisyys, että Johannes joutuu pysähtymään valoihin, kun oletetaan, että valojen toiminta on toisistaan riippumattomia,

a) Korkeintaan kerran
b) Korkeintaan kaksi kertaa ?

Tehtävä 13.

Ympyrän muotoiselle saarelle rantautuu kaksi haaksirikkoutunutta henkilöä. Mikä on todennäköisyys, että haaksirikkoutuneiden etäisyys linnun tietä on vähemmän kuin saaren säde ?

Tehtävä 14.

Diskettilaatikossa on 10 levykettä, joista 4 on viallista. Jos kaksi levykettä otetaan satunnaisesti peräkkäin palauttamatta, niin millä todennäköisyydellä ainakin toinen on ehyt ?

Tehtävä 15.

Johannes, Elias ja Aatos ampuvat kuulapistoolilla samaan maaliin. Heidän osumistodennäköisyydet ovat vastaavasti 0,90 , 0,70 ja 0,50. Mikä on todennäköisyys, että

a) kaikki osuvat maaliin
b) Elias ja Aatos osuvat maaliin mutta Johannes ampuu ohi
c) maaliin tulee täsmälleen yksi osuma
d) maaliin tulee ainakin yksi osuma ?

Tehtävä 16.

E-poikien pesäpallosarjassa on seitsemän joukkuetta. Joukkueet ovat Oulainen, Kannus, Nivala Ylivieska 1 ja 2 ja Haapajärvi 1 ja 2. Aikaisempien vuosien mukaan todennäköisyydet, että joukkueet voittavat sarjan ovat järjestyksessä 0.05, 0.20, 0.10, 0.20, 0.15, 0.25 ja 0.05. Sarjan alussa Ylivieskan ja Haapajärven kakkosjoukkueet pelaajineen hylätään. Mikä on sarjaan jääneiden joukkueiden voittotodennäköisyydet tämän jälkeen ?

Tehtävä 17.

a) Kauppias arvioi, että tietyn pullaerän tilaaminen voi tuottaa hänelle voittoa 300 mk tai tappioita 150 mk, jos pullat eivät mene kaupaksi. Voiton todennäköisyys on 0,4 ja tappion todennäköisyys on jopa 0,6. Mikä on voiton odotusarvo ?

b) Kauppias myy myös radioita, joille hän myöntää 6 kk:n takuuajan. Jos radio rikkoutuu takuuajan aikana, koituu kauppiaalle tappiota keskimäärin 350 mk. Jos sen sijaan radio kestää rikkoutumatta yli takuuajan, saa kauppias 150 mk voittoa. Mikä on 50 radion myynnistä saatavan voiton odotusarvo, kun radioiden rikkoutumisen todennäköisyys takuu aikana on 0,10 ?

Tehtävä 18.

Erään syöpäsairauden jälkeen potilaan hyvin paranemisen todennäköisyys on 0,95. Mikä on todennäköisyys, että kahdeksasta seuraavasta potilaasta

a) viisi paranee hyvin
b) ainakin viisi paranee hyvin
c) kukaan ei parane hyvin
d) kaikki paranevat hyvin ?

Tehtävä 19.

a) Kolikkoa on heitetty 10 kertaa ja joka kerta on saatu klaava. Mikä on todennäköisyys, että 11. Heittokin on klaava ?

b) Korttipakasta on nostettu peräkkäin neljä korttia. Kaikki neljä korttia ovat olleet herttoja. Mikä on todennäköisyys, että viideskin kortti on hertta ?

Tehtävä 20.

Henkilö osallistuu onnenpyörä arvontaa. Onnenpyörässä on kolme voittosektoria, joiden kunkin keskuskulma on 15°; . Mikä on todennäköisyys, että henkilö voittaa kyseisessä onnenpyörässä yhdellä pyöräytyksellä? Mikä on henkilön voiton odotusarvo, kun pyöräytys maksaa 10 mk ja voittosektorilla voiton määrä on 50 mk ?

Tehtävä 21.

Pikapankkikorttiin liittyvä tunnusluku on nelinumeroinen ja jokainen luvun numero voi olla mikä tahansa 0 - 9. Mikä on todennäköisyys, että henkilö, joka ei tiedä tunnuslukua, arvaa sen oikein

Tehtävä 22.

Erään tehtaan valmistamista polkupyöristä on 1% virheellisiä. Jos tutkittavaksi otetaan kaksi polkupyörää satunnaisesti, niin mikä on todennäköisyys, että

a) molemmat polkupyörät ovat virheellisiä
b) ainakin toinen polkupyörä on virheellinen
c) toinen polkupyöristä on virheellinen ja toinen virheetön ?

Tehtävä 23.

Eteisessä on neljä paria sinisiä lenkkitossuja ja kolme paria punaisia lenkkitossuja. Näistä tossuista valitaan umpimähkään kaksi. Mikä on todennäköisyys, että

a) tossut ovat samaa paria
b) tossut ovat saman väriset
c) eri jalan tossuja ?

Tehtävä 24.

Ravikilpailujen Troikka-pelissä veikataan lähdön kolme parasta hevosta oikeassa maaliintulojärjestyksessä. Kuinka monta erilaista veikkausmahdollisuutta on lähdössä, jossa mukana on 12 hevosta ?

ŠInternetix / Ari Sarpola