©Internetix


9. Avaruusgeometriaa


1. SUORAKULMAINEN SÄRMIÖ

Suorakulmainen särmiö kuvataan tasopinnalla käyttäen kavaljeeriperspektiiviä.

Suorakulmaisessa särmiössä a, b ja c ovat särmiä.

Suorakulmaisen särmiön tilavuus lasketaan kaavalla

on suorakulmion pohjan pinta-ala ja h on suorakulmion korkeus.

Kokonaispinta-ala muodostuu kuudesta tahkosta, joista vastakkaiset ovat keskenään yhtä suuria.

Avaruuslävistäjän pituuden d saamme Pythagoran lauseen avulla. Sovelletaan lausetta pohjan halkaisijan laskemiseen, tällöin saamme, että x² = s² + b² . Avaruuslävistäjä on hypotenuusa suorakulmaisessa kolmiossa, jossa edellä laskettu pohjan halkaisija ja korkeus ovat kateetteja. Käyttämällä Pythagoran lausetta toistamiseen saamme, että avaruuslävistäjä

Suorakulmaisen särmiön erikoistapauksena on kuutio, jossa jokaisen särmän pituus on sama. Särmää merkitään tällöin s-kirjaimella.

Kuution tilavuus lasketaan kaavalla V = s³ ja kokonaispinta-ala A = 6s² . Kuution avaruuslävistäjän kaavaksi saamme helposti

Esimerkki 1.

Laske suorakulmaisen särmiön tilavuus, kokonaispinta-ala ja avaruuslävistäjän pituus, kun leveys on 6 m, pituus 4 m ja korkeus 3 m.

Esimerkki 2.

Kuution kokonaispinta-ala on 150 m². Laske kuution tilavuus ja avaruuslävistäjän pituus.

2. YMPYRÄPOHJAINEN LIERIÖ

Ympyräpohjaisen lieriön pohjana on ympyrä. Kun vaippa levitetään tasoon, niin se muodostaa suorakulmion, jonka korkeus on sama kuin lieriön korkeus ja kanta sama kuin pohjaympyrän kehän pituus.

Säännöllisten kappaleiden tilavuus lasketaan peruskaavalla Ympyräpoh-jaisen lieriön tapauksessa saamme, että Kokonaispinta-ala muodostuu kahdesta ympyrän pinta-alasta ja vaipan alasta.

Muista!!! Myös vinon lieriön tilavuus lasketaan kaavalla Korkeuden laskemiseksi voit joutua soveltamaan trigonometrisiä funktioita tai Pythagoran lausetta.

Esimerkki 3.

Ympyräpohjaisen lieriön pohjan säde on 12 cm ja korkeus 30 cm. Laske lieriön tilavuus ja kokonaispinta-ala.

Esimerkki 4.

Mukin sisäkorkeus on 7,0 cm ja läpimitta samoin 7,0 cm. Mikä on mukin vetoisuus? (Yo-tehtävä)

3. YMPYRÄPOHJAINEN KARTIO

Ympyräpohjaisen kartion pohjana on ympyrä ja vaippana ympyräsektori.

Ympyräpohjaisen kartion tilavuus on kolmasosa vastaavan pohjaympyrän ja korkeuden omaavasta ympyräpohjaisesta lieriöstä Kokonaispinta-ala muodostuu yhdestä pohjaympyrästä ja vaipasta. Kun ympyräpohjaisen kartion vaippa levitetään tasoon, niin muodostuvan ympyräsektorin säde on sama kuin kartion sivujana ja sektorin kaaren pituus on sama kuin kartion pohjaympyrän kehän pituus. Vaipan pinta-ala saadaan kaavalla

Kokonaispinta-ala on tällöin

Kartion muotoisia kappaleita ovat myös kaikki pyramidit. Niiden tilavuuksien ja kokonaispinta-alojen laskemiseen sovelletaan peruskaavaa aina tapauskohtaisesti.

Esimerkki 5.

Neliöpohjaisen pyramidin tilavuus lasketaan kaavalla missä s on pyramidin pohjaneliön sivu ja h on pyramidin korkeus.

Esimerkki 6.

Tonttulakki on muodoltaan ympyräpohjainen kartio, jonka suuaukon pituus on 58 cm ja sivun mitta 52 cm. Laske tonttulakin tilavuus ja kankaan pinta-ala.

Lasketaan aluksi suuaukon säde ja lakin korkeus

Tilavuus

Kokonaispinta-ala

Esimerkki 7.

Neliöpohjaisen pyramidin pohjaneliön sivun pituus on 150 m ja korkeus 120 m. Laske pyramidin tilavuus. Jos pyramidi olisi valmistettu umpikivestä, niin kuinka monta autokuormaa kiviä saataisiin pyramidista? Kuorma-auton lavan tilavuus on 15 m³.

Autokuormien lukumäärä

4. PALLO

Pallon tilavuuden ja kokonaispinta-alan lausekkeet annetaan lukion yleisen matematiikan kursseilla suoraan.

Pallon tilavuus lasketaan kaavalla ja kokonaispinta-ala

Esimerkki 8.

Saunapata on puolipallon muotoinen. Laske padan tilavuus, kun suuaukon halkaisija on 75 cm.

Esimerkki 9.

Ilmapallon halkaisija on 34 cm. Laske ilmapallon pinta-ala.

Esimerkki 10.

Kuinka monta kuulaa, jonka halkaisija on 2 mm, voidaan valaa ympyräpohjaisen lieriön muotoisesta lyijypalasta? Lyijypalan halkaisija on 4 cm ja korkeus 3 cm.

Esimerkki 11.

Helsinki sijaitsee 60. leveysasteella. Kuinka pitkän matkan Helsinki kulkee, kun maapallo pyörähtää kerran ympäri?

Päiväntasaajalla sijaitsevat paikkakunnat sijaitsevat maapallon säteen päässä maapallon kiertoakselista. Koska Helsinki sijaitsee 60. leveysasteella, niin se muodostaa kiertoakselin kanssa 30 asteen kulman. Helsingin etäisyys maapallon kiertoakselissa lasketaan seuraavalla tavalla

Helsingin kulkema matka yhdessä vuorokaudessa



ŠInternetix / Ari Mikkonen