3.2. Käyrän kuperuudesta


Funktion kuvaaja voi olla joko alas- tai ylöspäin kupera. Alaspäin kuperassa kuvaajassa jokainen käyrälle piirretty tangentti (sivuamispistettä lukuunottamatta) on kuvaajan alapuolella ja ylöspäin kuperassa vastaavasti jokainen tangentti on kuvaajan yläpuolella.

kuvaajat.gif (3657 bytes)

Kuvaajien perusteella on helppo todeta, että ylöspäin kuperan käyrän tangenttien kulmakertoimet pienevät ja alaspäin kuperan käyrän tangenttien kulmakertoimet kasvavat muuttujan arvojen kasvaessa.

Lause 1.k21.gif (821 bytes) Jos derivaattafunktio on jollakin välillä aidosti kasvava (vähenevä), niin kuvaaja on kupera alaspäin (ylöspäin).

 

Todistus:k22.gif (821 bytes) Olkoon aidosti kasvava. Asetetaan välin pisteeseen funktion kuvaajalle tangentti, jonka yhtälö on muotoa

.

Olkoon puolestaan välin toinen piste siten, että . Tällöin saamme, että

.

Kuvaajan ja tangentin y – koordinaattojen erotus pisteessä on

.

Väliarvolauseen perusteella

, sillä on kasvava.

Siis kuvaaja on tangentin yläpuolella, kun . Samalla tavoin voimme osoittaa, kun kuvaaja on tangentin yläpuolella, joten kuvaaja on kupera alaspäin.

Vastaavasti, kun on aidosti vähenevä, niin kuvaaja on kupera ylöspäin.

Jos on aidosti kasvava (vähenevä) jollakin välillä ja jos toinenkin derivaatta on olemassa, niin tällä välillä.

Lause 2.k21.gif (821 bytes) Jos jollakin välillä, niin funktion kuvaaja on kupera alaspäin. Jos jollakin välillä, niin funktion kuvaaja on kupera ylöspäin.

 

Todistus: Todistus jätetään harjoitustehtäväksi. Sovella väliarvolausetta, niin saat lauseen todistettua erittäin mukavasti ja lyhyesti.

 

Määritelmä:k24.gif (822 bytes) Jos funktio on derivoituva ja kuvaajan kuperuussuunta vaihtuu ohitettaessa piste , niin pistettä on kuvaajan käännepiste.

 

Esimerkki 1.k24.gif (822 bytes) Olkoon funktio . Tutkitaan käyrän kuperuutta.

Derivoidaan funktio

, joka on kasvava kaikkialla, joten funktio on kupera alaspäin.

Määritetään kuitenkin funktion toinen derivaatta

.

 

Esimerkki 2.k24.gif (822 bytes) Tutkitaan funktion kuperuutta.

Määritetään funktion toinen derivaatta.

Tarkastellaan funktion toisen derivaatan merkkejä ja päätellään funktion kuperuus alas- ja ylöspäin sekä käännepisteen koordinaatit.

kuvaaja1.gif (1109 bytes)

Funktion kuvaaja on kupera alaspäin, kun ja funktion kuvaaja on kupera ylöspäin , kun . Funktion käännepiste on .

 

Esimerkki 3.k24.gif (822 bytes) Tutkitaan funktion kuperuutta.

Määritetään funktion toinen derivaatta ja ratkaistaan sen nollakohdat.

Tarkastellaan funktion toisen derivaatan merkkejä ja päätellään funktion kuperuus alas- ja ylöspäin sekä käännepisteen koordinaatit.

kuvaaja2.gif (1165 bytes)

, kun , jolloin käyrä on kupera alaspäin.

, kun , jolloin käyrä on kupera ylöspäin.

Käännepisteet ovat .

 

Esimerkki 4.k21.gif (821 bytes) Tutkitaan funktion kuperuutta.

Määritetään funktion toinen derivaatta.

Toinen derivaatta aina, kun .

on kupera ylöspäin. Lisäksi funktiolla ei ole käännepistettä.

 

Esimerkki 5.k24.gif (822 bytes) Tutkitaan funktion kuperuutta.

Funktion toinen derivaatta saadaan, kun

kaikilla

arvoilla.

on kupera on alaspäin, eikä sillä ole käännepistettä.

 

Esimerkki 6.k21.gif (821 bytes) Tutkitaan funktion kuperuutta.

Määritetään funktion toinen derivaatta ja ratkaistaan sen nollakohdat.

Tarkastellaan funktion toisen derivaatan merkkejä ja päätellään funktion kuperuus alas- ja ylöspäin sekä käännepisteen koordinaatit.

kuvaaja3.gif (1210 bytes)

, kun , jolloin

on kupera alaspäin.

, kun , jolloin

on kupera ylöspäin.

Funktion käännepisteet ovat .

ŠInternetix / Ari Mikkonen