Tangentti ja normaali


Derivaatan geometrisen tulkinnan mukaan funktiolle kohtaan asetetun tangentin kulmakerroin saadaan derivaatan arvosta kohdassa . Jos funktiolle asetetaan pisteeseen tangentti, niin sen kulmakerroin .

Käyttämällä suoran yhtälöä hyväksi saamme muodostettua funktiolle pisteeseen asetetun tangentin yhtälön

.

Koska normaali on kohtisuorassa tangentti vastaan, niin normaalin kulmakerroin voidaan laskea kaavalla .

Normaalin yhtälö on muotoa .

Pisteen ei tarvitse sijaita funktion kuvaajalla. Kuitenkin pisteen kautta voidaan piirtää funktiolle pisteeseen tangentti. Tällöin tangentin yhtälö on muotoa .

Esimerkki 1.b24.gif (814 bytes) Määritetään funktiolle kohtaan asetetun tangentin yhtälö.

Pisteen koordinaatit, johon tangentti asetetaan on ja .

Tangentin kulmakerroin saadaan derivoimalla funktio ja laskemalla derivaatan arvo kohdassa .

.

Tangentin yhtälö on

 

Esimerkki 2.b24.gif (814 bytes) Määritetään paraabelin huipun koordinaatit.

Paraabelin huippuun asetetun tangentin kulmakerroin on , koska tangentti on yhdensuuntainen x-akselin kanssa.

Derivoidaan funktio .

Derivaatan arvo on oltava nolla , joka on paraabelin huipun x-koordinaatti.

Sijoitetaan x-koordinaatin arvo paraabelin lausekkeeseen ja ratkaistaan huipun y-koordinaatti.

.

Vastaus: Paraabelin huipun koordinaatit ovat .

 

Esimerkki 3.b24.gif (814 bytes) Määritetään paraabelin sen tangentin yhtälö, joka on suoran suuntainen.

Suoran kulmakerroin . Kulmakertoimen saa laskettua myös paraabelin derivaatasta .

Ratkaistaan sivuamispisteen x-koordinaatti .

Vastaavasti y-koordinaatti on

.

Tangentin yhtälö on

.

 

Esimerkki 4.b24.gif (814 bytes) Määritetään käyrälle kohtaan asetetun normaalin yhtälö.

Ratkaistaan sivuamispisteen y-koordinaatti .

Tangentin kulmakerroin saadaan käyrän derivaatasta

.

Normaalin kulmakerroin .

Normaalin yhtälö on

.

 

Esimerkki 5.b24.gif (814 bytes) Määritetään käyrälle pisteestä piirrettyjen tangenttien yhtälöt.

Piste on käyrän ulkopuolella.

Derivoidaan funktio .

Tangenttien sivuamispisteitä käyrällä voidaan merkitä

.

Muodostetaan lauseke kulmakertoimien avulla ja ratkaistaan sivuamispisteiden x-koordinaatit.

Tangenttien kulmakertoimet ovat ja

Tangenttien yhtälöt ovat ja

.

 

Esimerkki 6.d41.gif (818 bytes) Osoitetaan, että käyrät ja sivuavat toisiaan. Mikä on niiden yhteisen tangentin yhtälö? (Yo-tehtävä, syksy 1977, tehtävä 8, lyhyt oppimäärä)

Ratkaistaan aluksi paraabelien yhteisen pisteen koordinaatit.

Paraabelien yhteisen pisteen koordinaatit ovat .

Ratkaistaan seuraavaksi molempien paraabelien tangenttien kulmakertoimet kohdassa .

Koska molemmille paraabeleille kohtaan asetettujen tangenttien kulmakertoimet ovat samat, niin paraabelit sivuavat toisiaan.

Yhteisen tangentin yhtälö on

.

ŠInternetix / Ari Mikkonen