Raja-arvo käsitteen laajennus, Epäoleelliset raja-arvot


Edellä olleissa osioissa olemme tarkastelleet raja-arvoa , missä sekä ja ovat olleet äärellisiä lukuja.

Seuraavaksi tutkimme tapauksia, joissa tai voivat olla joko tai .

Näitä tapauksia kutsutaan epäoleellisiksi raja-arvoiksi.

Esimerkki 1. a.gif (816 bytes) Tutkitaan raja-arvon olemassa oloa.

Kun muuttuja alkaa lähestyä kohti 0 sekä positiivisesta että negatiivisesta suunnasta, niin saa yhä suurempia arvoja.

Voimme merkitä .

 

Esimerkki 2. a.gif (816 bytes) Tutkitaan raja-arvon olemassa oloa.

Määritetään vasemman- ja oikeanpuoliset raja-arvot muuttujan lähestyessä lukua 0.

vastaavasti .

Koska ei olemassa .

 

Esimerkki 3. a.gif (816 bytes) Määritetään .

Sijoitetaan aluksi suoraan muuttujan paikalle ja tarkastellaan tilannetta.

eli raja-arvoksi saadaan , jolle ei voida sopia mitään "arvoa".

Huomio!!!! Sama johtopäätös saadaan myös tapauksista , tai jne.

Jaetaankin jokainen rationaalifunktion termi muuttujan nimittäjän korkeimmalla asteluvulla ja sovelletaan raja-arvon määrittämiseksi annettuja lauseita.

.

 

Esimerkki 4. b.gif (819 bytes) Määritetään .

.

 

Esimerkki 5. b.gif (819 bytes) Määritetään .

.

Huomio!!! Jos , niin

 

Esimerkki 6. b.gif (819 bytes) Määritetään .

.

 

Esimerkki 7. c.gif (815 bytes) Määritetään .

Tässä tapauksessa otetaan polynomifunktion suurin asteluku yhteiseksi tekijäksi ja sovelletaan raja-arvon määrittämiseksi annettuja lauseita.

 

Esimerkki 8. d.gif (816 bytes) Määritetään .

Lavennetaan lauseke , jolloin saadaan, että

 

Esimerkki 9. e.gif (819 bytes) Määritetään.

 

Esimerkki 10.d.gif (816 bytes) Määritetään .

Lavennetaan lauseketta , jolloin saadaan, että

Koska , kun .

 

Esimerkki 11.d.gif (816 bytes) Määritetään .

Lavennetaan lauseketta , jolloin saadaan, että

 

Esimerkki 12. Määritetään seuraavat raja-arvot.

a) ,

b) ,

c) .

 

Esimerkki 13. Määritetään seuraavat raja-arvot.

a) ,

b) ,

c) ei ole olemassa. Mieti tarkasti syytä miksi?

ŠInternetix / Ari Mikkonen