ŠInternetix


Summamerkintä, sarjan suppeneminen ja hajaantuminen


 


ŠInternetix / Ari Mikkonen

Edellä olevissa osioissa olemme tarkastelleet sekä aritmeettisten että geometristen lukujonojen erilaisia ominaisuuksia. Lukujono muodostuu termeistä, joita voidaan symbolisoida a1, a2, a3,...,an,..., missä alaindeksi kertoo, kuinka mones lukujonon termi on kulloinkin kyseessä.

Aritmeettisen lukujonon 1, 3, 5, 7, 9,.... neljä ensimmäistä termiä voidaan laskea yhteen, jolloin muodostuu summa 1 + 3 + 5 + 7 = 16. Lyhyemmin kyseisen kaltaisia summalausekkeita merkitään seuraavalla tavalla , missä kreikan kielen kirjainta (sigma) käytetään summan symbolina, i = indeksi, joka käy luvusta 1 lukuun 4 ts. . Usein käytetään myös merkintää , jolloin kyseinen summa on (1 + 2) + (2 + 2) + (3 + 2) = 12.


Esimerkki 1

Lasketaan seuraavat summat

a) ,

b) ,

c) .


Esimerkki 2

Kirjoitetaan seuraavat summat - merkintää käyttäen

a) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = , kyseessä on 7 ensimmäistä paritonta lukua.

b) 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 = , kyseessä on kuuden ensimmäisen positiivisen kokonaisluvun neliöitä.

c) tai , eli summan voi merkitä kahdella eri tavalla.


Lukujonon (an) termeistä muodostuu sarja, kun ääretön määrä lukujonon termejä a1, a2, a3,...,an,..., lasketaan yhteen.

Yleisesti:

Lukujonon ääretön summalauseke merkitään
, jota kutsutaan sarjaksi.


Sarja voidaan muodostaa osasummien avulla,


 


Sarjan suppenemisen ja hajaantumisen määrittäminen on jonkin verran hankalampaa verrattuna lukujonon vastaavien ominaisuuksien tutkimiseen.

Määritelmä:

Sarja on suppeneva, jos osasummien jono Sn suppenee ja luku S on sarjan summa, jos .


Jos sarja ei suppene, niin silloin se hajaantuu.

Lause:

Välttämätön ehto, jotta sarja suppenee on .


Todistus: .

Tämä ei kuitenkaan ole riittävä ehto suppenemiselle, kuten perinteinen harmonisen sarjan esimerkki sen meille kohta kertoo.


Esimerkki 3

Harmoninen sarja tuntuu suppenevalta, koska . Kuitenkin sarja hajaantuu, sillä sarjan summaa voidaan arvioida alaspäin seuraavalla tavalla


Esimerkki 4

Tutkitaan seuraavien sarjojen suppenemista ja hajaantumista.

a) . Sarja hajaantuu.

b) . Sarja hajaantuu.

c) . Sarja suppenee.


Esimerkki 5

Tutkitaan sarjan suppenemista ja lasketaan osasumma Sn.

. Sarja suppenee.

Koska lauseke , niin osasumma Sn voidaan kirjoitaa

Koska , niin sarjan summa on 3.