10. Varatun hiukkasen liike magneettikentässä


Kun varattu hiukkanen (varaus q) tulee magneettikenttään kohtisuorasti, kohdistaa magneettikenttä siihen voiman Fm = qvB. Voima on kohtisuorassa sekä nopeutta että magneettikenttää vastaan oikean käden säännön mukaisesti. Voima saa aikaan ympyräliikkeen, jos magneettikenttä on homogeeninen, toisinsanoen voima on vakio. Ympyräradalla keskihakuvoima on Fc = mv2/r. Koska tässä magneettikentän aiheuttama voima toimii keskihakuvoimana on Fm = Fc. Toisin sanoen

qvB = mv2/r,

joka supistettuna on

qB = mv/r

Hiukkasen radan säde on

r = mv/qB

Esimerkki 1.
Elektroni kiihdytetään 100 V jännitteellä, jonka jälkeen se tulee kohtisuorasti homogeeniseen magneettikenttään jonka magneettivuon tiheys on 7,2 mT. Laske elektronin radan säde magneettikentässä.

Elektronin nopeus saadaan Schusterin kaavasta
eU = ½mev2

v2 = 2eU / me = 2·1,60·10-19 C·100V / 9,11·10-31 kg
= 3,5 · 1013 (m/s)2

v = 5,9·106 m/s = 5,9 Mm/s

koska q = e, on

r = 9,11·10-31 kg·5,9·106 m/s / 1,60·10-19 C·10-19 C·0,0072 T = 4,7mm

Voimme johtaa heti alussa lausekkeen säteelle, jolloin varsinainen laskutyö vähenee.
Yhtälöistä

eU = ½mev2

ja

r = mv/eB

saadaan

Tehtävä
Laske edellisen esimerkin arvoista elektronin radan säde suoraan johdetusta kaavasta.

Esimerkki 2.
Varatun hiukkasen liike hallitaan hyvin sähkö- ja magneettikentän avulla. Seuraavalla järjestelyllä voidaan valita vain halutulla nopeudella liikkuvat ionit.

Kuvassa positiivinen hiukkanen, esimerkiksi protoni, tulee kohtisuorasti sekä magneettikenttää (kuvassa oikealle) että sähkökenttää (kuvassa alas) vastaan.

Oikean käden säännön mukaan magneettikenttä aiheuttaa voiman Fm ylöspäin. Sähköinen voima Fs on kentän suuntaan, siis alaspäin. Koska voimat ovat vastakkaissuuntaisia, voidaan sähkö- ja magneettikenttä säätää siten, että voimat kumoavat toisensa eli

qvB = qE

v = E/B

Kun suhde E/B toteuttaa tämän ehdon, varattu hiukkanen kulkee suoraan ja voidaan poimia esimerkiksi massaspektrometriin.

Esimerkki 3.
Olkoon hiukkanen protoni ja haluamme 104 m/s kulkevat protonit talteen. Meidän ei tarvitse tuntea protonia tarkemmin, koska vain kenttien suhde määrää nopeuden. Jos E = 1000 V/m, on B = E/v = 1000 V/m / 10000 m/s = 0,1 T.

Massaspektrograafi tai -metri

Massaspektrometri on tärkeä laite aineen eri isotooppien erottelussa, koska ne eivät eroa toisistaan kemiallisesti eikä sähköisesti. Ainoa ero on eri massa. Aine ionisoidaan samaan varaukseen ja kiihdytetään määrätyllä jännitteellä. Esimerkkien 2. ja 3. mukaisesti erotellaan oikealla nopeudella kulkevat ionit magneettikenttään. Aikaisemmin olemme johtaneet ionin radan säteelle lausekkeen

r = mv/eBm

Merkitsemme nopeuksia erottelevan magneettivuon tiheyttä kirjaimilla Be ja massaspektrometrin magneettivuon tiheyttä kirjaimilla Bm. Sijoitamme nyt nopeuden tilalle suhteen E/Be

r = mE /(eBe·Bm)

Protonin massa m = 1,67·10-27 kg ja varaus on positiivinen alkeisvaraus e = 1,60·10-19 C. v = E/Be = 1000 m/s. Haluamme tietää kuinka suuri pitäisi olla massaspektrometrin magneettivuon tiheys Bm, jotta elektronin radan säde olisi 1 m.

Bm = m /(e·r) = 1,67·10-27 kg/( 1,60·10-19 C·1 m) = 10,4·10-9T = 10,4 nT.

Syklotroni

Syklotroni on yksi yleisimmin käytetyistä hiukkaskiihdyttimistä. Se voi olla pieni pöydällä pidettävä kiihdytin tai suuri, useita kymmeniä kilometrejä halkaisijaltaan oleva kiihdytin. Syklotroni jakaantuu kahteen D-muotoiseen osaan, joissa on voimakkaat magneettikentät. D-osien välissä tapahtuu varsinainen kiihdytys. Kiihdytettävä hiukkanen kulkee laitteen keskeltä spiraalinmuotoista rataa ja joutuu useaan kertaan kiihdyttävään sähkökenttään.

Meillä on ollut jo useamman kerran radan säteen kaava r = mv/(qB). Kun hiukkasen nopeus kasvaa, radan säde kasvaa ja siksi radasta tulee spiraalimainen. Kiihdytysjännitteen suunta vaihtuu hiukkasen kiertäessä D-osassa.

Suurilla nopeuksilla ei vain nopeus kasva, vaan myös massa kasvaa suhteellisuusteorian mukaisesti. Jännitteen vaihtuminen on tällöin synkronisoitava tähän tilanteeseen. Tällöin laitteesta käytetään nimitystä synkrotroni. Pelkästään elektronien kiihdytykseen tarkoitettua laitetta kutsutaan betatroniksi.

Hall-ilmiö

Kun virta kulkee johteessa tai puolijohteessa, joka on magneettikentässä eri suuntaan kuin magneettikenttä, työntää magneettikenttä liikkuvia varauksia sivusuunnassa. Johtimen reunojen välille syntyy poikittainen jännite (Hall-jännite). Kun virta ja magneettikenttä ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, on ilmiö voimakkain. Tällöin U = kIB. Hall-jännite on siis suoraan verrannollinen sähkövirtaan (I) ja magneettivuon tiheyteen (B). k on verrannollisuuskerroin, joka riippuu itse Hall-anturista. Hall-anturilla voidaan mitata magneettivuon tiheys.


Yo-tehtäviä
Hiukkasen liike magneettikentässä:
Syksy 1985 tehtävä 10. Hall-ilmiö
Syksy 1984 tehtävä 5.
Kevät 1985 tehtävä 6.
Kevät 1981 tehtävä 4b.
Massaspektrometri
Kevät 1990 tehtävä 9.
Syksy 1982 tehtävä 4.
Syksy 1996 tehtävä 12
Kevät 1978 tehtävä +12.
Syklotroni:
Kevät 1975 tehtävä 5.
Kevät 1988 tehtävä 10.
Syksy 1975 tehtävä 5.

Linkkejä:
FORCE ON A CURRENT CARRYING CONDUCTOR IN A MAGNETIC FIELD
THE MALTESE CROSS
BENDING OF AN ELECTRON BEAM
Syklotronit:
CERN Accelerators
SPS - SL Division - CERN
CERN Hadron Linacs
Accelerator Physics Group
The DELPHI detector at CERN's LEP collider
ISOLDE Mass Separator
ISOLDE, kuva

©Internetix/Ismo Elo/Käyttöfysiikka Oy 1998